Sharing All of The World

Sementara kasus dimana dimensi ruang tidak sama dengan tiga telah sering dibahas di literatur, kasus dimana dimensi waktu tidak sama dengan satu. Hal ini sebagian karena korespondensi antara sudut pandang luar dan dalam lebih sulit dibuat dalam kasus waktu. Ketika mencoba membayangkan ruang berdimensi 4, kita dapat membuat analogi dengan pembayangan ruang berdimensi 3 pada dunia berdimensi 2, seperti yang dilakukan Edwin Abbot dalam novelnya “Flatland”. Namun seperti apa realitas jika ada mahluk sadar yang hidup di dunia dengan dimensi waktu 2?

Satu hal yang harus dicatat adalah bahkan untuk ruang lebih dari satu dimensi waktu, tidak ada alas an yang jelas mengapa suatu mahluk cerdas tidak dapat mempersepsi waktu sebagai berdimensi satu, sehingga mempertahankan pola memiliki “pikiran” dan “persepsi” dalam sukses satu dimensi yang mencirikan persepsi realitas kita. Jika suatu mahluk adalah benda terlokalisasi, ia akan berjalan pada sebuah garis waktu berdimensi waktu satu lewat manifold ruang waktu berdimensi n+m. Relativitas umum standar mengenai waktu pantas didefinisikan dengan jelas, dan kita menduga inilah waktu yang akan diukur jika ia memiliki sebuah jam dan ia akan dialami secara subjektif.

Perbedaan-perbedaan ketika Waktu tidak satu dimensi

Tidak perlu lagi dikatakan, banyak aspek dunia akan berbeda. Sebagai contoh, penurunan ulang mekanika relativitstik untuk kasus yang lebih umum ini menunjukkan kalau energy sekarang menjadi vector berdimensi-m bukannya sebuah konstan, yang arahnya menentukan dimana arah waktu garis dunia akan berlanjut, dan dalam batas non relativistic, arah ini adalah konstanta gerakan. Dengan kata lain, jika dua pengamat non relativistic bergerak dalam arah waktu berbeda bertemu di suatu titik dalam ruang waktu, mereka akan kembali mengapung terpisah dalam arah waktu terpisah pula, tidak mampu tetap bertemu.

Perbedaan lain yang menarik, yang dapat ditunjukkan dengan sebuah argument geometri yang elegan, adalah partikel menjadi kurang stabil ketika dimensi waktu lebih dari satu. Untuk sebuah partikel agar mampu meluruh ketika dimensi waktu satu, tidak cukup kalau ada seperangkat partikel dengan bilangan kuantum yang sama. Juga perlu kalau jumlah massa diamnya harus kurang dari massa diam partikel asli, tidak peduli seberapa besar energi kinetiknya. Ketika dimensi waktu lebih dari satu, kendala ini lenyap. Sebagai contoh,

Selain dua perbedaan ini, akan ada kebalikan dari “sebab akibat” ketika dimensi waktu lebih dari satu. Memang hal ini tidak mencegah eksistensi dari suatu mahluk. Lagi pula, kita harus menghindari asumsi kalau desain tubuh kita hanya satu-satunya yang memungkinkan kesadaran. Elektron, proton, dan foton akan masih tetap stabil bila energi kinetik mereka cukup rendah, jadi mungkin pengamat dapat masih hadir di daerah yang cukup dingin di dunia dengan dimensi waktu lebih dari satu.

Walau begitu, jauh dari trivial untuk memformulasikan sebuah teori medan kuantum dengan keadaan vakum stabil ketika dimensi waktu lebih dari satu. Diskusi detail mengenai masalah ketidakstabilan dengan dimensi lebih dari satu diberikan oleh Linde, juga dalam konteks antropik, dan isu ini dekat kaitannya dengan sifat ultrahiperbolik.

Ada tambahan masalah untuk mahluk ketika dimensi waktu lebih dari satu, yang belum pernah ditekankan walaupun hasil matematikanya diketahui. Ia berangkat dari perlunya prediktabilitas. Jika suatu mahluk mampu membuat kemampuan mengolah informasi dan kesadaran diri, hukum fisika harus sedemikian hingga ia dapat membuat prediksi. Dalam kerangka sebuah teori medan, ia harus mengukur berbagai nilai medan sekitarnya pada suatu titik ruang waktu yang jauh (yang berada di garis waktu masa depannya) dengan kesalahan tidak tak terhingga. Hal ini hanya dipenuhi oleh beberapa kelas persamaan diferensial parsial, khususnya yang hiperbolik.

Skema klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

Semua bahan matematik berikut terkenal dengan baik. Dengan diberikan sebuah persamaan diferensial parsial linier orde kedua dalam R^d,

 

Dimana matriks A (yang dapat dipandang simetrik),  vector b, dan scalar c memberikan fungsi terdiferensial dari koordinat d, umumnya ia dapat diklasifikasikan tergantung pada tanda nilai eigen A. PDP dikatakan

Apa hubungannya dengan dimensialitas ruang waktu? Untuk berbagai persamaan medan kovarian alam yang menyatakan dunia kita (persamaan gelombang, persamaan Klein-Gordon, dsb), matriks A jelas memiliki nilai eigen seperti tensor metric. Sebagai contoh, ia akan hiperbolik dalam sebuah metrik dengan signatur (+—), sesuai dengan (n,m) = (3,1), eliptik dalam metrik dengan signatur (+++++), sesuai dengan (n,m)=(5,0), dan ultrahiperbolik dalam metric dengan signatur (++–).

Masalah yang Baik dan Buruk

Salah satu masalah klasifikasi standar PDP adalah ia menentukan struktur sebab akibat, yaitu bagaimana syarat batas harus dinyatakan untuk membuat masalah yang baik. Singkatnya, masalah dikatakan baik jika syarat batas menentukan solusi yang unik u dan jika ketergantungan solusi ini pada data batas (yang selalu linier) terbatas. Syarat terakhir berarti kalau solusi u pada suatu titik hanya akan berubah dengan jumlah yang terbatas bila data batas berubah dengan jumlah terbatas pula. Karenanya, bahkan bila sebuah masalah yang buruk dapat diselesaikan secara formal, solusi ini pada prakteknya tidak bermanfaat bagi mahluk, karena ia harus mengukur data awal dengan akurasi tak terhingga agar mampu memberikan tingkat kesalahan terhingga pada solusi (kesalahan pengukuran apapun akan menyebabkan kesalahan solusi menjadi tak terhingga).

Kasus Eliptik

Persamaan eliptik memungkinkan masalah bernilai batas. Sebagai contoh, persamaan Laplace berdimensi d dengan u terspesifikasi pada hiperpermukaan berdimensi d-1 menentukan solusi dimanapun dalam permukaan tersebut. Di sisi lain, memberikan data awal untuk PDP eliptik pada permukaan tak tertutup, katakanlah sebuah bidang, adalah sebuah masalah yang buruk. Ini berarti suatu mahluk di dunia tanpa dimensi waktu (m=0) tidak akan mampu membuat kesimpulan sama sekali mengenai situasi di bagian lain ruangnya berdasarkan apa yang ia amati secara lokal. Dunia demikian akan gagal pada persyaratan prediktabilitas yang disebutkan di atas (lihat gambar 1).

 

Kasus hiperbolik

Persamaan hiperbolik, di sisi lain, memungkinkan masalah nilai awal yang baik. Untuk persamaan Klein-Gordon pada dimensi n+1, menentukan data awal (u dan u’) pada sebuah daerah hiperpermukaan mirip ruang menentukan u pada semua titik dimana daerah ini memotong lewat kerucut cahaya terbalik, sepanjang m² lebih besar atau sama dengan nol. Sebagai contoh, data awal pada cakram berarsir pada gambar 2 menentukan solusi dalam volume yang dibatasi oleh dua kerucut, termasuk ujung (yang hilang). Suatu mahluk lokal dapat membuat prediksi mengenai masa depannya. Bila masalah yang dipertimbangkan adalah suhu rendah yang non relativistic, maka medan akan mengandung mode-mode Fourier dengan bilangan gelombang |k| jauh lebih kecil dari m, yang berarti kalau untuk semua tujuan praktis, solusi pada suatu titik ditentukan oleh data awal dalam “kerucut sebab akibat” dengan sudut bukaan jauh lebih sempit dari 45 derajat. Sebagai contoh, ketika kita menemukan diri kita dalam sebuah lembah cekung dimana tidak ada kecepatan makro lebih dari 10 m/detik, kita dapat memakai informasi dari hiperpermukaan spasial dengan radius 10 meter (volume bola) untuk meramalkan satu detik di masa depan.

 

Gambar 2: Struktur kausalitas untuk persamaan hiperbolik dan ultrahiperbolik

Kasus hiperbolik dengan permukaan hiper yang buruk

Jika data awal untuk PDP hiperbolik dikhususkan pada sebuah permukaan hiper yang tidak mirip ruang, masalah menjadi buruk. Gambar 2 memberikan pemahaman intuitif mengenai apa yang salah. Sebuah korolari dari teorema oleh Asgeirsson menyatakan kalau jika kita menyatakan u dalam silinder seperti dalam gambar 2, maka ini menentukan u sepanjang daerah yang tersusun dari kerucut ganda terpancung. Dengan radius silinder ini mendekati nol, kita mendapatkan kesimpulan kalau menyediakan data dalam tujuan praktis daerah satu dimensi menentukan solusi dalam daerah tiga dimensi. Ini adalah gejala sebuah masalah yang buruk. Akibatnya adalah kita harus menentukan data input dengan akurasi tak terhingga, yang tentu saja mustahil dalam kesalahan pengukuran dunia nyata. Lebih lanjut, tidak peduli berapa sempitpun kita membuat silindernya, masalahnya selalu ada, karena data di paruh luar silinder ditentukan oleh paruh dalam silinder. Karenanya mengukur data dalam daerah besar tidak menghapus sifat buruk dari masalah, karena data tambahan tidak memberikan informasi baru. Begitu juga, data batas generic memungkinkan tidak adanya solusi sama sekali, karena ia tidak konsisten. Mudah untuk melihat kalau hal yang sama berlaku ketika menentukan data “awal” pada bagian permukaan hiper non mirip ruang, misalnya yang diberikan oleh y=0. Sifat ini analog dengan dimensi n+1, dan menunjukkan mengapa mahluk dalam ruang waktu  berdimensi n+1 hanya dapat membuat prediksi pada arah mirip waktu.

Kasus ultrahiperbolik

Teorema Asgeirsson berlaku pada kasus ultrahiperbolik pula, menunjukkan kalau data awal pada sebuah permukaan hiper mengandung arah mirip ruang dan mirip waktu membawa pada masalah yang buruk. Walau begitu, karena sebuah permukaan hiper berdasarkan definisi memiliki dimensionalitas yang kurang satu dari pada manifold ruang waktu (data pada sebuah submanifold dimensionalitas lebih rendah tidak pernah memberikan masalah yang baik), tidak ada permukaan hiper mirip ruang atau mirip waktu dalam kasus ultrahiperbolik, yaitu ketika jumlah dimensi ruang dan waktu keduanya lebih dari satu. Dengan kata lain, dunia dalam daerah ultrahiperbolik (gambar 1) tidak dapat mengandung mahluk bila kita memaksa pada persyaratan prediktabilitas. Bersama dengan persyaratan kompleksitas dan stabilitas, hal ini menghapus semua kombinasi (n,m) dalam gambar 1 kecuali (3,1). Kita melihat apa yang membuat angka 1 begitu special adalah sebuah permukaan hiper dalam sebuah manifold memiliki dimensionalitas yang tepat 1 kurangnya dari manifold itu sendiri (dengan lebih dari satu dimensi waktu, sebuah permukaan hiper tidak dapat murni mirip ruang).

Dimensionalitas ruang-waktu

Telah dibahas mengenai PDP linier. Belum lagi kita membahas tentang system penuh dari PDP di alam bersifat non linier. Hal ini tidak melemahkan lesimpulan kita mengenai hanya m=1 yang memberikan masalah nilai awal yang baik. Ketika PDP memberikan masalah buruk bahkan secara lokal, dalam sebuah persekitaran kecil permukaan hiper (dimana kita dapat secara generik mendekati PDP non linier dengan yang linier), jelas kalau tidak ada suku non linier yang mampu membuatnya menjadi baik dalam persekitaran yang lebih besar. Begitu juga, menambahkan suku nonlinier membuat masalah baik justru menjadi buruk.

Dalam teori segalanya yang diajukan Tegmark, ada struktur matematika dengan eksistensi fisika yang memiliki hukum fisika yang tepat sama dengan kita namun dimensionalitas ruang waktu berbeda. Tampaknya kalau semua kecuali dimensi 3+1, tidak memiliki mahluk, atas alasan berikut:

Sekali lagi, argument di atas tentunya bukan bukti yang pasti. Sebagai contoh, dalam konteks model tertentu, kita dapat mempertimbangkan mempelajari kemungkinan struktur stabil dalam kasus (n,m) = (4,1) berdasarkan koreksi kuantum jarak dekat pada potensial 1/r² atau pada partikel mirip string. Kita semata berargumen kalau jauh dari jelas kalau kombinasi selain (n,m) = (3,1) memungkinkan mahluk, karena perubahan kualitatif yang radikal muncul ketika n atau m diubah.

Memasukkan partikel Tachyonik

Bila ruang waktu berdimensi 1+3 bukannya 3+1, ruang dan waktu secara efektif akan memiliki peran yang berkebalikan, kecuali kalau m² dalam persamaan Klein-Gordon akan memiliki tanda terbalik. Dengan kata lain, sebuah dunia berdimensi 1+3 akan seperti kita hanya semua partikelnya akan bersifat tachyonik, seperti pada gambar 1.

Banyak keberatan mengenai tachyon telah ditunjukkan tidak berdasar, namun juga tampak premature untuk menyimpulkan bahwa sebuah dunia dengan tachyon dapat memberikan mahluk dengan stabilitas dan prediktabilitas yang dibutuhkan. Masalah nilai awal masih bagus namun ketidakstabilan baru muncul. Sebuah foton dengan energi manasuka dapat meluruh menjadi pasangan tachyon-antitachyon, dan peluruhan terlarang lain yang telah kita bahas juga akan mungkin. Selain itu, fluktuasi dalam medan Tachyon dengan panjang gelombang diatas 1/m akan tidak stabil dan tumbuh secara eksponensial bukannya berosilasi. Pertumbuhan ini terjadi pada skala waktu 1/m, sehingga jika Alam semesta kita mengandung sebuah medan Tachyon dengan m lebih besar dari 1/(10^17) detik, ia akan mendominasi kepadatan kosmik dan menyebabkan Alam semesta kembali runtuh dalam big crunch sejak lama. Ini mengapa kotak (n,m) = (1,3) termasuk bagian yang dikeluarkan dalam gambar 1.